下面内容是数学中关于球体的核心公式及相关性质的
一、基本公式
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体积公式
球的体积（\(V\)）与半径（\(r\)）的关系：
\[V = \frac4}3} \pi r\]
推导技巧包括阿基米德的穷竭法、祖暅原理（即卡瓦列利原理），以及通过圆柱与圆锥体积的关系（如阿基米德的圆柱容球定理）。 -
表面积公式
球的表面积（\(S\)）与半径（\(r\)）的关系：
\[S = 4 \pi r\]
推导技巧包括微积分想法（将球面分割为无数小圆柱侧面积之和）、祖暅原理，或通过体积公式对半径求导直接得出。
二、球体的几何性质
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截面性质
- 用平面截球，截面是圆面，且球心与截面圆心的连线垂直于截面。
- 截面半径 \(r\) 与球半径 \(R\)、球心到截面的距离 \(d\) 满足：
\[r = R – d\]
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球面距离
球面上两点间的最短路径是经过两点的大圆弧劣弧长度。 -
对称性与极值
- 球体是中心对称、轴对称的立体图形，具有无限多条对称轴。
- 在所有体积相同的几何体中，球的表面积最小。
三、关键推导技巧
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祖暅原理（卡瓦列利原理）
- 若两立体在等高处的截面积相等，则体积相等。
- 应用示例：通过圆柱与圆锥的体积差推导球体积公式。
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微积分技巧
- 表面积：将球面无限分割为小平面，积分求和。
- 体积：通过球体积微分与积分计算。
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阿基米德圆柱容球定理
- 球的体积是外切圆柱体积的 \(\frac2}3}\)，表面积是圆柱表面积的 \(\frac2}3}\)。
四、历史背景
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中国贡献
- 刘徽提出“牟合方盖”学说，祖冲之、祖暅父子利用祖暅原理首次严格推导球体积公式。
- 《九章算术’里面已有球体积的早期探索，但存在误差。
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西方贡献
- 阿基米德通过穷竭法和杠杆原理计算球体积。
- 卡瓦列利提出积分想法的雏形，即卡瓦列利原理。
五、应用示例
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计算题
- 若球半径扩大2倍，体积扩大8倍，表面积扩大4倍。
- 两球体积比为1:2时，表面积比为 \(1:\sqrt[3]4}\)。
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物理与工程
- 球体的对称性使其成为滚珠轴承的理想形状。
- 液体在失重环境下自动形成球体（表面积最小化）。
参考资料
- 公式推导详见阿基米德《论球与圆柱》、祖暅原理及微积分教材。
- 历史背景可参考数学史文献。
